8. Repaso examen divisibilidad

REPASO TEMA DIVISIBILIDAD de NOE

1. Equipos de fútbol — m.c.m.

Tres equipos juegan cada 7, 10 y 14 días. Para saber cuándo volverán a coincidir, calculamos el m.c.m. de 7, 10 y 14.

7 = 7

10 = 2 × 5

 

14 = 2 × 7

¿Qué factores se cogen? Todos los factores primos, comunes y no comunes, con el mayor exponente.

Cálculo: m.c.m. (7, 10, 14) = 2 × 5 × 7 = 70.

Respuesta: Volverán a jugar todos al mismo tiempo dentro de 70 días.

2. Bolsas de palomitas — m.c.d.

Hay 72 bolsas de queso y 96 de mantequilla. Se quiere hacer el máximo número de paquetes iguales, sin que sobre ninguna bolsa. Calculamos el m.c.d. de 72 y 96.

72 = 2³ × 3²

96 = 2⁵ × 3

¿Qué factores se cogen? Solo los factores primos comunes, con el menor exponente.

Cálculo: m.c.d. (72, 96) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24 paquetes.

Respuesta: Se pueden hacer 24 paquetes. Cada paquete tendrá 3 bolsas de queso (72 ÷ 24) y 4 de mantequilla (96 ÷ 24): 7 bolsas en total.

3. Bandas de música — m.c.m.

Tres bandas dan conciertos cada 7, 9 y 12 días. Para saber cuándo coincidirán otra vez, calculamos el m.c.m. de 7, 9 y 12.

7 = 7

9 = 3²

12 = 2² × 3

¿Qué factores se cogen? Todos los factores primos, comunes y no comunes, con el mayor exponente.

Cálculo: m.c.m. (7, 9, 12) = 2² × 3² × 7 = 4 × 9 × 7 = 252.

Respuesta: Las tres bandas volverán a dar un concierto el mismo día dentro de 252 días.

4. Botellas de zumo — m.c.d.

Hay 144 botellas de manzana y 192 de naranja. Se quiere hacer el máximo número de cajas iguales, sin que sobre ninguna botella. Calculamos el m.c.d. de 144 y 192.

144 = 2⁴ × 3²

192 = 2⁶ × 3

¿Qué factores se cogen? Solo los factores primos comunes, con el menor exponente.

Cálculo: m.c.d. (144, 192) = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48 cajas.

Respuesta: Se pueden hacer 48 cajas. Cada caja tendrá 3 botellas de manzana (144 ÷ 48) y 4 de naranja (192 ÷ 48): 7 botellas en total.

5. Divisores: números primos y compuestos

Número

Divisores

Clasificación

81

1, 3, 9, 27, 81

Compuesto

19

1, 19

Primo

37

1, 37

Primo

44

1, 2, 4, 11, 22, 44

Compuesto

Recuerda: un número primo tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Un número compuesto tiene más de dos divisores positivos.

6. Escribe los números

A. Menores de 30 divisibles por 3 y por 5: 15.

B. Menores de 40 divisibles por 5 y por 10: 10, 20 y 30.

C. Menores de 70 divisibles por 2, por 3, por 5 y por 9: Ninguno (si se consideran números positivos). El mínimo común múltiplo de 2, 3, 5 y 9 es 90, que es mayor que 70.

7. Observa los números y contesta

Números: 4, 12, 21, 30, 36, 40, 41, 45 y 50.

Apartado

Solución

A. Divisibles por 2 y 3

12, 30, 36

B. Divisibles por 2, 3 y 9

36

C. Divisibles por 3 y 5

30, 45

D. Divisibles por 3, 5 y 10

30

8. Calcula el m.c.m. y el m.c.d.

Apartado

Operación

Resultado

A

m.c.m. (5, 8)

40

B

m.c.d. (48, 42)

6

C

m.c.m. (6, 10)

30

D

m.c.d. (36, 26)

2

E

m.c.m. (4, 6, 9)

36

F

m.c.d. (12, 18, 30)

6

G

m.c.m. (6, 8, 18)

72

H

m.c.d. (20, 56, 60)

4

Regla para recordar

m.c.m. — mínimo común múltiplo: se cogen todos los factores primos, comunes y no comunes, con el mayor exponente.

m.c.d. — máximo común divisor: se cogen solo los factores primos comunes, con el menor exponente.